Комментировать

это в методе конечных

это в методе конечных элементов так получается. Но там и интеграл берётся по всему объёму, и степеней свободы O(N^3). А если свести к интегралу по поверхности, то степеней свободы будет O(N^2), но и зависимость будет не локальной. Насколько я понимаю, в это уравнение будет входить свёртка с функцией Грина.

Я гораздо ближе знаком с аналогичной задачей в компьютерной графике --- уравнения рендеринга и радиосити. Есть источники света, есть непрозрачная поверхность, возможно неодносвязная, рассеивает свет по известному закону. Пространство однородное, свет не рассеивает и не поглощает. Нужно рассчитать освещённость каждой точки поверхности. Получается, что она зависит освещённости каждой другой видимой точки поверхности. Выходит интегральное уравнение для решения на поверхности с интегралами по поверхности. Как вариант, можно оперировать не с освещённостью в точке, а с распределением по полусфере входящего и исходящего излучения в точке. Причём, если среда неоднородная и рассеивающая, то возможно придётся решать уравнение переноса излучения по всему пространству, которое уже дифференциальное (точнее, интегро-дифференциальное).

Я так понимаю, в вычислительной физике встречаются аналогичные задачи и для других видов излучения. Вот целая глава в википедии по решению интегральных уравнений в задачах электромагнетизма.